Question

如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A的坐标是（-1,0），O是坐标原点，且.点E为线段BC上的动点（点E不与点B，C重合），以E为顶点作，射线ET交线段OB于点F.

(1) 求出此抛物线函数表达式，并直接写出直线BC的解析式；

(2)求证：；

(3)当为等腰三角形时，求此时点E的坐标；

(4)点P为抛物线的对称轴与直线BC的交点，点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以点A、M、N、P为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）y=x2－x－3 （2）通过角的等量代换证明角相等（3）或者

（4）M为

【解析】

试题分析：【解析】
（1）OC=3OA=3

∴C为（0，－3）

∵抛物线过（－1，0）和（0，－3）

∴y=x2－x－3

BC：y=x－3

（2）∵OB=OC=3

∴∠OCB=∠OBC=45°

又∵∠OEF＋∠BEF=∠COE＋∠OCB

且∠OEF=45°

∴∠BEF=∠COE．

（3）①∵∠OFE=∠BEF＋∠OBC＞45°

∴∠OFE＞∠OEF

∴OE＞OF即OE≠OF．

②当OE=EF时，

∠BEF=∠COE，∠OCE=∠EBF

∴△COE≌△BEF（AAS）

∴BE=CO=3．

过E作ED ⊥x轴于D．

③当OF=EF时，则∠FOE=∠OEF=45°

∴∠OFE=90°．∴EF⊥OB．

∴E为BC的中点，∴E为．

（4）对称轴为x=1，

∴P为（1，－2）．

①AP为边，

此时P点纵坐标为2或－2，

令x2－2x－3=2

即x2－2x－5=0

故

令x2－2x－3=－2

即x2－2x－1=0

或

故或

②AP为对角线，

设M为（x，0）

则N为（－x，－2）

∴x2＋2x－3=－2

x2＋2x－1=0

综上所述：M为．

考点：二次函数解析式以及与几何图形相结合