Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F,切点为G，连接AG交CD于K．

（1）求证：KE=GE；

（2）若AC∥EF，试判断线段KG、KD、GE间的相等

数量关系，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．

Answer

（1）由∠KGE=∠AKH=∠GKE可证KE=GE

（2）由△GKD∽△EGK可证得KG2=KD?GE

（3）FG=

【解析】

试题分析：【解析】
（1）证明：如答图1，连接OG．

∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°．………1分

∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°．

又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG． ……………2分

∴∠KGE=∠AKH=∠GKE．∴KE=GE．………3分

（2）=KD·GE．理由如下：

连接GD，如答图2所示．

∵AC∥EF，∴∠E=∠C． …………………４分

又∵∠C=∠AGD，∴∠E=∠AGD．

∵∠KGE=∠GKE，∴△GKD∽△EGK．…………5分

∴．∴KG2=KD?GE．…………………6分

（3）连接OG，OC，如答图3所示．

由（2）∠E=∠ACH，∴sinE=sin∠ACH=．………7分

∴可设AH=3t，则AC=5t，CH=4t．

∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t．∴HK=CK﹣CH=t．

在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，

即（3t）2+t2=，解得t=．…………………8分

设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r﹣3t，CH=4t，

由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，即（﹣3t）2+（4t）2=2．

解得．    ………………………………………………………9分

∵EF为切线，∴△OGF为直角三角形．  

在Rt△OGF中，OG==，tan∠OFG=tan∠CAH=＝，

∴FG=．     ……………………………………10分

考点：圆、相似、勾股定理、解直角三角形