Question

如图，在平面直角坐标系中，等腰直角的斜边在轴上，顶点的坐标为，为斜边上的高．抛物线与直线交于点，点的横坐标为．点在轴的正半轴上，过点作轴．交射线于点．设点的横坐标为，以为顶点的四边形的面积为．

（1）求所在直线的解析式；

（2）求的值；

（3）当时，求与的函数关系式；

（4）如图，设直线交射线于点，交抛物线于点．以为一边，在的右侧作矩形，其中．直接写出矩形与重叠部分为轴对称图形时的取值范围．

Answer

（1）；（2）；（3）当时，；当时，S

（4）或或.

【解析】

试题分析：（1）已知了A点的坐标，即可求出正比例函数直线OA的解析式；

（2）根据C点的横坐标以及直线OC的解析式，可确定C点坐标，将其代入抛物线的解析式中即可求出待定系数a的值；

（3）已知了A点的坐标，即可求出OD、AD的长，由于△OAB是等腰直角三角形，即可确定OB的长；欲求四边形ABDE的面积，需要分成两种情况考虑：

①0＜m＜3时，P点位于线段OD上，此时阴影部分的面积为△AOB、△ODE的面积差；

②m＞3时，P点位于D点右侧，此时阴影部分的面积为△OBE、△OAD的面积差；

根据上述两种情况阴影部分的面积计算方法，可求出不同的自变量取值范围内，S、m的函数关系式；

（4）若矩形RQMN与△AOB重叠部分为轴对称图形，首先要找出其对称轴；

①由于直线OA的解析式为y=x，若设QM与OA的交点为H，那么∠QEH=45°，△QEH是等腰直角三角形；那么当四边形QRNM是正方形时，重合部分是轴对称图形，此时的对称轴为QN所在的直线；可得QR=RN，由此求出m的值；

②以QM、RN的中点所在直线为对称轴，此时AD所在直线与此对称轴重合，可得PD=RN=，由OP=OD-PD即可求出m的值；

③当P、D重合时，根据直线OC的解析式y=x知：RD=；此时R是AD的中点，由于RN∥x轴，且RN==DB，所以N点恰好位于AB上，RN是△ABD的中位线，此时重合部分是等腰直角三角形REN，由于等腰直角三角形是轴对称图形，所以此种情况也符合题意，此时OP=OD=3，即m=3；

当R在AB上时，根据直线OC的解析式可用m表示出R的纵坐标，即可得到PR、PB的表达式，根据PR=PB即可求出m的值；

根据上述三种轴对称情况所得的m的值，及R在AB上时m的值，即可求得m的取值范围．

（1）设直线OA的解析式为y=kx，

则有：3k=3，k=1；

∴直线的解析式为；

（2）当x=6时，y=x=3，

∴C（6，3）；

将C（6，3）代入抛物线的解析式中，

得：36a+12=3，解得；

（3）当时，如图①，

＝；

当时，如图②，

（4）或或.

考点：二次函数的综合题