Question

如图，△ABC内接于⊙O，直径BD交AC于E，过O作FG⊥AB，交AC于F，交AB于H，交⊙O于G．

（1）求证：OF?DE=2OE?OH；

（2）若⊙O的半径为12，且OE：OF：OD=2：3：6，求阴影部分的面积．（结果保留根号）

Answer

（1）由BD是直径，根据圆周角定理，可得∠DAB=90°，又由FG⊥AB，可得FG∥AD，即可判定△FOE∽△ADE，根据相似三角形的对应边成比例，即可得，然后由O是BD的中点，DA∥OH，可得AD=2OH，则可证得OF?DE=OE?2OH；（2）

【解析】

试题分析：（1）由BD是直径，根据圆周角定理，可得∠DAB=90°，又由FG⊥AB，可得FG∥AD，即可判定△FOE∽△ADE，根据相似三角形的对应边成比例，即可得，然后由O是BD的中点，DA∥OH，可得AD=2OH，则可证得OF?DE=OE?2OH；

（2）由⊙O的半径为12，且OE：OF：OD=2：3：6，即可求得OE，DE，OF的长，由，求得AD的长，又由在Rt△ABC中，OB=2OH，可求得∠BOH=60°，继而可求得BH的长，又由S阴影=S扇形GOB-S△OHB，即可求得答案．

（1）∵BD是直径，

∴∠DAB=90°．

∵FG⊥AB，

∴DA∥FO．

∴△FOE∽△ADE．

∴，即OF?DE=OE?AD

∵O是BD的中点，DA∥OH，

∴AD=2OH

∴OF?DE=OE?2OH；

（2）∵⊙O的半径为12，且OE：OF：OD=2：3：6，

∴OE=4，ED=8，OF=6

代入（1）中OF?DE=OE?AD，得AD=12．

∴OH=AD=6．

在Rt△OHB中，OB=2OH，

∴∠OBH=30°，

∴∠BOH=60°．

∴BH=BO?sin60°=

考点：相似三角形的判定与性质，圆周角定理，平行线等分线段定理，锐角三角函数的定义