Question

如图，为正方形边上任一点，于点，在 的延长线上取点，使，连接，.

（1）求证：；

（2）的平分线交于点，连接，求证：；

Answer

（1）由BG⊥AP，AG=GE可得BG垂直平分线段AE，根据垂直平分线的性质可得AB=BE，根据正方形的性质可得AB=BC，即可证得结论；

（2）连接CN，延长BN交CE于H，过点D作DM⊥AN于M，可证得Rt△ADM≌Rt△ABG，即得DM=AG，根据角平分线的性质可得CH=HE，即可证得△BCN≌△BEN，从而可知△CEN是等腰△，延长AE交DC延长线于F，可得∠BAG=∠BEG=∠CFE=∠BCN，则可证得Rt△DMN，Rt△BGN都是等腰直角三角形，问题得证.

【解析】

试题分析：（1）∵BG⊥AP，AG=GE，

∴BG垂直平分线段AE，

∴AB=BE，

在正方形ABCD中，AB=BC，

∴BE=BC；

（2）连接CN，延长BN交CE于H，过点D作DM⊥AN于M，

显然Rt△ADM≌Rt△ABG，

∴DM=AG，

∵BN平分∠CBE，

∴CH=HE，

∵∠CBN=∠EBN，BE=BC，BN=BN，

∴△BCN≌△BEN，

∴CN=NE，即△CEN是等腰△，

延长AE交DC延长线于F，则有∠BAG=∠BEG=∠CFE=∠BCN，

∴A，B，C，D，N五点共圆，

∴∠AND=∠BNG=45°[AB弦所对圆周角=45°]

∴Rt△DMN，Rt△BGN都是等腰直角三角形，

∴DM=AG=DN，GN=BN，AG+GN=AN=BN+DN.

考点：线段垂直平分线段判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理