Question

如图，在△ABC 中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D．连结DB，过点D 作DE⊥BC，

垂足为点E．

（1）求证：AD = CD；

（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（3）求证：DB2 = AB·BE．

Answer

（1）∵ AB是直径∴ ∠ADB=90°∵ BA = BC∴ AD = CD（2）DE与⊙O相切；（3）可证明：

△BED∽△BDC得到证明DB2 = AB·BE

【解析】

试题分析：证明：（1）∵ AB是直径∴ ∠ADB=90°∵ BA = BC∴ AD = CD               

（2）DE与⊙O相切；连接OD，                 

∵CD=AD                                

又∵AO=BO

∴OD是△ABC的中位线

∴OD∥BC                                                 

∵∠DEB=90°

∴∠ODE=90°

即OD⊥DE

∴DE为⊙O的切线。          

（3）∵∠BED =∠BDC =900，∠EBD =∠DBC     

∴△BED∽△BDC                     

∴                               

又∵AB=BC

∴                               

∴BD2=AB?BE

考点：圆及相似三角形判定性质