Question

已知：如图，AB=BC,∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交OC与点D，AD的延长线交BC于点E，过D作⊙O的切线交BC于点F。下列结论：①CD²=CE·CB；②4EF²=ED·EA；③∠OCB=∠EAB；④DF=CD.其中正确的有            (填序号)

Answer

①、②、④

【解析】

试题分析：先连接BD，利用相似三角形的判定以及切线的性质定理得出DF=FB，进而分别得出△CDE∽△CBD以及△CDF∽△CBO，再根据相似三角形的性质分别分析即可得出答案．：【解析】
①连接BD，

∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠DBE+∠3=90°，

∵∠ABC=90°，

∴∠1+∠DBE=90°，

∴∠1=∠3，

又∵DO=BO，

∴∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∴∠CDB=∠CED，

∵∠DCB=∠ECD，

∴△CDE∽△CBD，

∴CD2=CE?CB，故①CD2=CE?CB正确；

②∵过D作⊙O的切线交BC于点F，

∴FD是⊙O的切线，

∵∠ABC=90°，

∴CB是⊙O的切线，

∴FB=DF，

∴∠FDB=∠FBD，

∴∠1=∠FDE，

∴∠FDE=∠3，

∴DF=EF，

∴EF=FB，

∴EB=2EF，

∵在Rt△ABE中，BD⊥AE，

∴EB2=ED?EA，

∴4EF2=ED?EA，故②4EF2=ED?EA正确；

③∵AO=DO，

∴∠OAD=∠ADO，

假设③∠OCB=∠EAB成立，

则∠OCB=0.5∠COB，

∴∠OCB=30°，

而，与tan30°=矛盾，

故③∠OCB=∠EAB不成立，故此选项错误；

④∵∠CDF=∠CBO=90°，

∠DCF=∠OCB，

∴△CDF∽△CBO，

∴，

∴，

∵AB=BC，

∴DF=0.5CD；故④DF=0.5CD正确．

综上正确的有①、②、④．

故答案为：①②④．

考点：圆的增合体