Question

如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点，折叠正方形ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展平后，折痕DE分别交AB，AC于点E，G，连接GF，下列结论：①AE=AG；②tan∠AGE=2；③；④四边形ABFG为等腰梯形；⑤BE=2OG，则其中正确的结论个数为（  ）。

A．2                B．3                C．4                D．5

Answer

B

【解析】

试题分析：①由四边形ABCD是正方形，可得∠GAD=∠ADO=45°，又由折叠的性质，可求得∠ADG的度数，然后利用三角形外角的性质，求得∠AGD=112.5°；

②由AE=EF＜BE，可得AD＞2AE，即可得tan∠AED

AD

AE

③由AG=GF＞OG，可得△AGD的面积＞△OGD的面积；

④由折叠的性质与平行线的性质，易得△EFG是等腰三角形，即可证得AE=GF；

⑤易证得四边形AEFG是菱形，由等腰直角三角形的性质，即可得BE=2OG．

【解析】
∵四边形ABCD是正方形，

∴∠GAD=∠ADO=45°，

由折叠的性质可得：∠ADG=

1

2

∠ADO=22.5°，

∴∠AGD=180°-∠GAD-∠ADG=112.5°，

故①正确．

∵tan∠AED=

AD

AE

，

由折叠的性质可得：AE=EF，∠EFD=∠EAD=90°，

∴AE=EF＜BE，

∴AE＜0.5AB，

∴tan∠AED=故②错误．

∵∠AOB=90°，

∴AG=FG＞OG，△AGD与△OGD同高，

∴S△AGD＞S△OGD，

故③错误．

∵∠EFD=∠AOF=90°，

∴EF∥AC，

∴∠FEG=∠AGE，

∵∠AGE=∠FGE，

∴∠FEG=∠FGE，

∴EF=GF，

∵AE=EF，

∴AE=GF，

故④正确．

∵AE=EF=GF，AG=GF，

∴AE=EF=GF=AG，

∴四边形AEFG是菱形，

∴∠OGF=∠OAB=45°，

∴EF=GF=OG，

∴BE=

EF=2OG．故⑤正确．∴其中正确结论的序号是：①④⑤．

故选B

考点：正方形的性质、折叠的性质