Question

已知是半圆的直径, 点在的延长线上运动(点与点不重合), 以为直径的半圆与半圆交于点的平分线与半圆交于点.

如图甲, 求证: 是半圆的切线;

如图乙, 作于点, 猜想与已有的哪条线段的一半相等, 并加以证明;

如图丙, 在上述条件下, 过点作的平行线交于点, 当与半圆相切时, 求

甲                                乙                                 

的正切值.

Answer

角度转换；三角形全等的变换；3

【解析】

试题分析：(1) 如图甲, 连接, 则为半圆的半径, 而为半圆的直径, 所以,

即是半圆的切线;

(2) 猜想: .

证1: 如图乙, 以为直径作⊙, 延长交⊙于点,连接,

∵, ∴∵平分, ∴,

∴, ∴;

甲                        乙                        丙                     丁

证2: 如图丙, 连接相交于点. ∵平分, ∴,

∴, ∴可证, ∴;

(3) 如图丁, 延长交于点, 设, 则,

∵四边形是矩形, ∴, 同(2)证法是中点,

∴是中点, ∴,

可证∽, ∴, 即, 解得或.

当时, 点与点重合, 舍去; 当时, .

考点：全等三角形的性质和判定