Question

在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A₁BC₁．

（1）当点C₁在线段CA的延长线上时，如图1，求∠CC₁A₁的度数；

（2）如图2，△ABC绕点B按逆时针方向旋转，连接AA₁，CC₁，若△ABA₁的面积为4，求△CBC₁的面积；

（3）点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P₁，求线段EP₁长度的最大值与最小值．

Answer

（1）90°；（2）；（3）最大值为7，最小值为

【解析】

试题分析：（1）由旋转的性质可得∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，即得∠CC1B=∠C1CB=45°，从而得到结果；

（2）由旋转的性质可得△ABC≌△A1BC1，即得BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1，从而可得，∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1，即可证得△ABA1∽△CBC1，再根据相似三角形的性质求解即可；

（3）过点B作BD⊥AC，D为垂足，由△ABC为锐角三角形可得点D在线段AC上，在Rt△BCD中，根据 45°角的正弦函数即可求得BD的长，①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大。

（1）∵由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，

∴∠CC1B=∠C1CB=45°

∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°；

（2）∵由旋转的性质可得：△ABC≌△A1BC1，

∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1，

∴，∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1，

∴∠ABA1=∠CBC1.

∴△ABA1∽△CBC1 

∴.

∵S△ABA1=4，

∴S△CBC1=；

（3）过点B作BD⊥AC，D为垂足，

∵△ABC为锐角三角形

∴点D在线段AC上。

在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=。

①如图1，当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小。最小值为：EP1=BP1﹣BE=BD﹣BE=.

②如图2，当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大。最大值为：EP1=BC+BE=5+2=7.

考点：动点的综合题