Question

某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成，如图，在⊙O₁和扇形O₂CD中，⊙O₁与O₂C、O₂D分别相切于A、B，∠CO₂D=60°，直线O₁O₂与⊙O₁、扇形O₂CD分别交于E、F两个点，EF=24cm，设⊙O₁的半径为xcm，

（1）用含x的代数式表示扇形O₂CD的半径；

（2）若⊙O₁和扇形O₂CD两个区域的制作成本分别为0.45元／cm²和0.06／cm²元，当⊙O₁的半径为多少时，该玩具成本最小？

Answer

（1）（24－3x）cm；（2）4cm

【解析】

试题分析：（1）连接O1A.根据切线的性质可得O1A⊥O2C，O2E平分∠CO2D，由∠CO2D=60°可得∠AO2O1=∠CO2D=30°，在Rt△O1AO2中，根据∠AO2O1的正弦函数可表示出O1O2的长，从而得到结果；

（2）设该玩具的制作成本为y元，根据“⊙O1和扇形O2CD两个区域的制作成本分别为0.45元／cm2和0.06／cm2元”，再结合圆的面积公式、扇形的面积公式根据二次函数的性质求解即可.

（1）连接O1A.

∵⊙O1与O2C、O2D分别切一点A、B，

∴O1A⊥O2C，O2E平分∠CO2D.

∵∠CO2D=60°，

∴∠AO2O1=∠CO2D=30°.

在Rt△O1AO2中，，

∴O1O2=AO1sin∠AO2O1 =xsin30°=2x.   

∵EF=24cm，

∴FO2=EF－EO1－O1O2=24－3x，即扇形O2CD的半径为（24－3x）cm；

（2）设该玩具的制作成本为y元，由题意得

∴当x=4时，y的值最小

答：当⊙O1的半径为4cm时，该玩具的制作成本最小。

考点：二次函数的应用