Question

如图①、②、③是两个半径都等于2的⊙O₁和⊙O₂，由重合状态沿水平方向运动到互相外切过程中的三个位置，⊙O₁和⊙O₂相交于A、B两点，分别连结O₁A、O₁B、O₂A、O₂B和AB。

(1)如图②，当∠AO₁B=120°时，求两圆重叠部分图形的周长l；

(2)设∠AO₁B的度数为x，两圆重叠部分图形的周长为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(3)在(2)中，当重叠部分图形的周长时，则线段O₂A所在的直线与⊙O₁有何位置关系？请说明理由.除此之外，它们是否还有其它的位置关系？如果有，请直接写出其它位置关系时的x的取值范围.

Answer

（1） （2）（0≤x≤180） （3）O2A与⊙O1相切；当0≤x≤90和0≤x≤180时，线段O2A所在的直线与⊙O1相交

【解析】

试题分析：（1）解法一、依对称性得，∠AO2B=∠AO1B=120°, ∴

解法二、∵O1A=O1B=O2A=O2B

∴AO1BO2是菱形   ∴∠AO2B=∠AO1B=120° ∴l=2×=

(2)∵由（1）知，菱形AO1BO2中∠AO2B=∠AO1B=x度,

∴重叠图形的周长,   即（0≤x≤180）

(3) 当时，线段O2A所在的直线与⊙O1相切！

理由如下：∵，由（2）可知：，    解之x=90度

∴AO1B=90°,因此菱形AO1BO2是正方形，∴O1AO2=90°,即O2A⊥O1A,

而O1A是⊙O1的半径，且A为半径之外端；∴O2A与⊙O1相切。

还有如下位置关系：当0≤x≤90和0≤x≤180时，线段O2A所在的直线与⊙O1相交

考点：直线与圆的位置关系