Question

如图，矩形ABCD中，AB="10" cm，BC="6" cm．现有两个动点P，Q分别从A，B同时出发，点P在线段AB上沿AB方向作匀速运动，点Q在线段BC上沿BC方向作匀速运动，已知点P的运动速度为1 cm/s，运动时间为t s．

（1）设点Q的运动速度为 cm/s．

①当△DPQ的面积最小时，求t的值；

②当△DAP∽△QBP相似时，求t的值．

（2）设点Q的运动速度为a cm/s，问是否存在a的值，使得△DAP与△PBQ和△QCD这两个三角形都相似？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）①t="6" ②t=－6＋2 （2）①a=

【解析】

试题分析：（1）①S△DPQ=S矩形ABCD－S△DAP－S△PBQ－S△QCD

=60－×6×t－×(10－t)×t－×10×(6－t)

=t2－3t＋30

=(t－6)2＋21．

∵0≤t≤10，∴当t="6" s时，S△DPQ的最小值为21 cm2．

②当△DAP∽△QBP相似时，有．

即，解得t1=－6＋2，t2=－6－2（舍去）．

∴t=－6＋2时，△DAP∽△QBP．

（2）假设存在a的值，使得△DAP与△PBQ和△QCD这两个三角形都相似，

则AP=t，AQ=at．以下分4种情况进行讨论．

①当∠1＝∠3＝∠4时，有．

∴，解得t1=2，t2=18（舍去）．

此时a=．

②当∠1＝∠3＝∠5时，有∠DPQ＝∠PQD＝∠PDQ＝90°．

此等式不成立．∴不存在这样的a值．

③当∠1＝∠2＝∠4时，有．

∴，即有整理，得5t2－36＋180=0，△＜0，方程无实数解．

∴不存在这样的a值．

④当∠1＝∠2＝∠5时，∵AB∥DC，∴∠1＝∠PDC＞∠5．故不存在这样的a值．

综上所述，存在a的值，使得△DAP与△PBQ和△QCD这两个三角形都相似，此时a=

考点：几何图形与代数相结合，相似三角形