Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O 的切线， 交OD的延长线与点E，连接AE.

（1）求证：AE与⊙O相切；

（2）连接BD并延长交AE于点F，若EC∥AB，OA=6，求AF的长．

Answer

（1）连接OC，根据切线的性质可得∠OCE=90°，由OA=OC，OD⊥AC可得∠COE=∠AOE，即可证得△COE≌△AOE，则可得∠OAE =∠OCE = 90°，从而证得结论；（2）4

【解析】

试题分析：（1）连接OC，根据切线的性质可得∠OCE=90°，由OA=OC，OD⊥AC可得∠COE=∠AOE，即可证得△COE≌△AOE，则可得∠OAE =∠OCE = 90°，从而证得结论；

（2）设BF与OC相交于点G，先证得四边形OAEC是矩形，再结合OA=OC可得矩形OAEC是正方形，则可得OG∥AE，AE=AO=6，OD=ED，所以有，则可得OG=EF，由OG∥AE可得，即可得到，从而求得结果.

（1）连接OC

∵CE是⊙O的切线

∴∠OCE=90°

∵OA=OC，OD⊥AC

∴∠COE=∠AOE

∵OA=OC，∠COE=∠AOE，OE=OE

∴△COE≌△AOE(SAS)

∴∠OAE=∠OCE=90°

∴OA⊥AE

∴AE与⊙O相切；

（2）设BF与OC相交于点G

∵EC∥AB

∴∠AEC=∠OAE=90°

∵∠AEC=∠OAE=∠OCE=90°

∴四边形OAEC是矩形

∵OA=OC

∴矩形OAEC是正方形

∴OG∥AE，AE=AO=6，OD=ED

∵OG∥AE

∴

∴OG=EF

∵OG∥AE

∴

∴

∴.

考点：圆的综合题