Question

已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D为BC边上一点．

（1）求证：△ACE≌△ABD；

（2）若AC=2，CD=1，求ED的长．

Answer

（1）根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，∠BAC=90°，AB=AE，∠CAE=90°，再根据同角的余角相等可得∠1=∠2，即可证得结论；（2）

【解析】

试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，∠BAC=90°，AB=AE，∠CAE=90°，再根据同角的余角相等可得∠1=∠2，即可证得结论；

（2）在△ABC中，根据∠B的正弦函数求得BC的长，即可得到BD的长，根据等腰直角三角形的性质可得∠4=∠B=45°，由△ACE≌△ABD可得∠5=∠B=45°，EC=DB=3，即可得到△ECD是直角三角形，最后根据勾股定理求解即可.

（1）∵△ABC是等腰直角三角形

∴AB=AC，∠BAC=90°

同理AB=AE，∠CAE=90°

∵∠BAC=∠CAE=90°

∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°

∴∠1=∠2

∴△ACE≌△ABD（SAS）

（2）在△ABC中

BC=

∴BD=BC－CD=4－1=3

∵△ABC是等腰直角三角形

∴∠4=∠B=45°

∵△ACE≌△ABD

∴∠5=∠B=45°，EC=DB=3

∵∠ECD=∠4+∠5=90°

∴△ECD是直角三角形

∴ED.

考点：等腰直角三角形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，勾股定理