Question

如图，抛物线y＝－x²＋mx＋n与x轴分别交于点A（4，0），B（－2，0），与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式；                                 

（2）M为第一象限内抛物线上一动点，点M在何处时，△ACM的面积最大；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P，使得△PAC为直角三角形？若存在，请求出所有可能点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y＝－x2＋2x＋8；（2）（2，8）；（3）（1，4＋）或（1，4－）

【解析】

试题分析：（1）由抛物线股过点A（4，0），B（－2，0）根据待定系数法求解即可；

（2）设M坐标为（a，－a 2＋2a＋8），先求得点C的坐标，再求得直线AC的解析式，过点M作x轴的垂线，交AC于N，则N的坐标为(a，－2a＋8)，根据△ACM的面积＝△MNC的面积＋△AMN的面积再结合二次函数的性质求解即可；

（3）分①当∠ACP＝90°时，②当∠CAP＝90°时，③当∠APC＝90°时，这三种情况分析即可.

（1）∵y＝－x2＋mx＋n与x轴分别交于点A（4，0），B（－2，0），

∴解得

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋8；

（2）设M坐标为（a，－a 2＋2a＋8），其中a＞0．

∵抛物线与y轴交于点C，

∴C(0，8)．

∵A（4，0），C(0，8)．

∴直线AC的解析式为y＝－2x＋8．

过点M作x轴的垂线，交AC于N，则N的坐标为(a，－2a＋8)．

∴△ACM的面积＝△MNC的面积＋△AMN的面积＝－a 2＋4a＝－(a－2)2＋4

当a＝2，即M坐标为（2，8）时，△ACM的面积最大，最大面积为4；

（3）①当∠ACP＝90°时，点P的坐标为(1，9.5)；

②当∠CAP＝90°时，点P的坐标为（1，－1.5）； 

③当∠APC＝90°时，点P的坐标为（1，4＋）或（1，4－）．

考点：二次函数的综合题