Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，AB=10，以AB为直径的⊙与y轴正半轴交于点C，连接BC、AC，CD是⊙的切线，AD⊥CD于点D，tan∠CAD=，抛物线过A、B、C三点.

（1）求证：∠CAD=∠CAB；

（2）求抛物线的解析式；

（3）判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由.

Answer

（1）证明∠CA=∠CAD，∠CAB=∠CA，得∠CAD=∠CAB；（2） （3）抛物线顶点E在直线CD上；理由将E（3，）代入直线DC的解析式y=x+4中，右边=×3+4==左边，得抛物线顶点E在直线CD上

【解析】

试题分析：（1）证明：连接C，

∵CD是⊙的切线，

∴C⊥CD，

∵AD⊥CD，

∴C∥AD，

∴∠CA=∠CAD，

∵A=C，

∴∠CAB=∠CA，

∴∠CAD=∠CAB；              

（2）【解析】
①∵AB是⊙的直径，

∴∠ACB=90°，

∵OC⊥AB，

∴∠CAB=∠OCB，

∴△CAO∽△BCO，

∴,

即OC2=OA?OB，

∵tan∠CAO=tan∠CAD=，

∴AO=2CO，

又∵AB=10，

∴OC2=2CO（10-2CO），

∵CO＞0，

∴CO=4，AO=8，BO=2，

∴A（8，0），B（-2，0），C（0，4），             

∵抛物线y=ax2+bx+c过点A，B，C三点，

∴c=4，

由题意得：，

解得：，

∴抛物线的解析式为：；              

②设直线DC交x轴于点F，

∴△AOC≌△ADC，

∴AD=AO=8，

∵C∥AD，

∴△FC∽△FAD，

∴，

∴8（BF+5）=5（BF+10），

∴BF=，F（）；              

设直线DC的解析式为y=kx+m，则，

解得：?，

∴直线DC的解析式为y=x+4，

由=得顶点E的坐标为（3，），

将E（3，）代入直线DC的解析式y=x+4中，

右边=×3+4==左边，

∴抛物线顶点E在直线CD上；              

考点：抛物线