Question

如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA=．

（1）求边AB的长；

（2）求反比例函数的解析式和n的值；

（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．

Answer

（1）2；（2），；（3）

【解析】

试题分析：（1）由点E（4，n）在边AB上可得OA=4，再根据tan∠BOA=即可求得结果；

（2）由（1）可得点B的坐标为（4，2），再根据点D为OB的中点可得点D的坐标，再根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式，从而求得n的值；

（3）设点F（a，2），由反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，即可求得a的值，连接FG，设OG=t，则OG=FG=t，CG=2﹣t，在Rt△CGF中，根据勾股定理列方程求解即可.

（1）∵点E（4，n）在边AB上，

∴OA=4，在Rt△AOB中，

∵tan∠BOA=，

∴AB=OA×tan∠BOA=4×=2；

（2）由（1）可得点B的坐标为（4，2），

∵点D为OB的中点，

∴点D（2，1）．

∵点D在反比例函数（k≠0）的图象上，

∴，解得k=2．

∴反比例函数解析式为

又∵点E（4，n）在反比例函数图象上，

∴；

（3）如图，设点F（a，2），

∵反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，

∴，解得a=1．

∴CF=1．连接FG，设OG=t，则OG=FG=t，CG=2﹣t，

在Rt△CGF中，GF2=CF2+CG2，即t2=（2﹣t）2+12，解得t=，

∴OG=t=．

考点：反比例函数的性质