Question

如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC斜靠在两坐标轴上放在第二象限，点C的坐标为（-1，0）．B点在抛物线的图象上，过点B作轴，垂足为D，且B点横坐标为．

（1）求证：；

（2）求BC所在直线的函数关系式；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使 △ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）先根据同角的余角相等证得，又为等腰直角三角形，可得．即可证得结论；（2）；（3）

【解析】

试题分析：（1）先根据同角的余角相等证得，又为等腰直角三角形，可得．即可证得结论；

（2）由C点坐标可得BD=CO=1，即可得到B点坐标 设所在直线的函数关系式为，根据待定系数法即可求得结果；

（3）先求得抛物线的对称轴为直线．再分以为直角边，点为直角顶点；以为直角边，点为直角顶点，两种情况根据一次函数的性质求解即可.

（1）∵，，

∴．     

∵为等腰直角三角形，

∴．

在和中

∴（AAS）．

（2）∵C点坐标为，

∴BD=CO=1．

∵B点的横坐标为，

∴B点坐标为． 

设所在直线的函数关系式为，

则有，解得

∴BC所在直线的函数关系式为．          

（3）存在．     

=，

∴对称轴为直线． 

若以为直角边，点为直角顶点，对称轴上有一点，使．

∵ 

∴点为直线与对称轴直线的交点．

由题意得，解得

∴．

若以为直角边，点为直角顶点，对称轴上有一点，使，

过点作，交对称轴直线于点．

∵CD=OA，

∴A（0，2）．

易求得直线的解析式为，

由得，∴．

∴满足条件的点有两个，坐标分别为．

考点：二次函数的综合题