Question

（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．求证：CE＝CF；

（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠ECG＝45°，请你利用（1）的结论证明：．

（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图3，在直角梯形ABCG中，AG∥BC（BC＞AG），∠B＝90°，AB＝BC=6，E是AB上一点，且∠ECG＝45°，BE＝2．求△ECG的面积．

Answer

（1）先根据正方形的性质可得BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，即可证得△CBE≌△CDF，从而得到结论；（2）延长AD至F，使DF=BE．连接CF．由（1）知△CBE≌△CDF，即可得到∠BCE＝∠DCF．又∠GCE＝45°，可得∠BCE+∠GCD＝45°．即可得到∠ECG＝∠GCF．又CE＝CF，GC＝GC，即可证得△ECG≌△FCG，即可证得结论；（3）15

【解析】

试题分析：（1）先根据正方形的性质可得BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，即可证得△CBE≌△CDF，从而得到结论；      

（2）延长AD至F，使DF=BE．连接CF．由（1）知△CBE≌△CDF，即可得到∠BCE＝∠DCF．又∠GCE＝45°，可得∠BCE+∠GCD＝45°．即可得到∠ECG＝∠GCF．又CE＝CF，GC＝GC，即可证得△ECG≌△FCG，即可证得结论；

（3）过C作CD⊥AG，交AG延长线于D．证得四边形ABCD 为正方形．由（2）中△ECG≌△FCG，即得GE＝GF．GE＝DF＋GD＝BE＋GD，设DG＝x，可得AE=4，AG＝6—x，EG="2+" x．在Rt△AEG中，根据勾股定理即可列方程求得x的值，再根据三角形的面积公式即可求得结果．

（1）在正方形ABCD中，

∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，

∴△CBE≌△CDF．

∴CE＝CF．       

（2）如图2，延长AD至F，使DF=BE．连接CF．

由（1）知△CBE≌△CDF，

∴∠BCE＝∠DCF．

又∠GCE＝45°，

∴∠BCE+∠GCD＝45°．

∴∠DCF＋∠GCD＝∠GCF＝45°

即∠ECG＝∠GCF．

又∵CE＝CF，GC＝GC，

∴△ECG≌△FCG．   

∴=．

∴．

（3）如图3，过C作CD⊥AG，交AG延长线于D．

在直角梯形ABCG中，

∵AG∥BC，∴∠A＝∠B＝90°，

又∠CDA＝90°，AB＝BC，

∴四边形ABCD 为正方形．

已知∠ECG＝45°．

由（2）中△ECG≌△FCG，∴ GE＝GF．

∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD． 

设DG＝x，

∵BE=2，AB=6，

∴AE=4，AG＝6—x，EG="2+" x．

在Rt△AEG中，

，即．

解得：x＝3．

∴==15．  

∴△CEG的面积为15．

考点：正方形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，直角梯形的性质，勾股定理