Question

如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且AC＝CF，∠CBF＝∠CFB．

（1）求证：直线BF是⊙O的切线；

（2）若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD=5时，求BF的长．

Answer

（1）由∠CBF＝∠CFB可得CB＝CF，再结合AC＝CF可得CB＝AF，即可证得△ABF是直角三角形，从而可以证得结论；（2）10

【解析】

试题分析：（1）由∠CBF＝∠CFB可得CB＝CF，再结合AC＝CF可得CB＝AF，即可证得△ABF是直角三角形，从而可以证得结论；

（2）连接DO，EO，由点D，点E分别是弧AB的三等分点，可得∠AOD＝60°，再结合OA＝OD可得△AOD是等边三角形，从而可以求得结果.

（1）∵∠CBF＝∠CFB

∴CB＝CF．

又∵AC＝CF， 

∴CB＝AF．

∴△ABF是直角三角形．

∴∠ABF＝90°． 

∴直线BF是⊙O的切线．   

（2）连接DO，EO．                

∵点D，点E分别是弧AB的三等分点，

∴∠AOD＝60°．  

又∵OA＝OD， 

∴△AOD是等边三角形，∠OAD＝60°，OA＝AD＝5．      

又∵∠ABF＝90°，AB=2OA=10， 

∴BF＝10．

考点：直角三角形的判定，切线的判定，等边三角形的判定，解直角三角形