Question

如图，矩形ABCD中，E为DC的中点，AD: AB= :2，CP:BP=1:2，连接EP并延长，交AB的延长线于点F，AP、BE相交于点O．下列结论：①EP平分∠CEB；②△EBP∽△EFB；③△ABP∽△ECP；④AOAP=OB²．其中正确的序号是_______________．（把你认为正确的序号都填上）

Answer

①②③

【解析】

试题分析：由条件设AD=x，AB=2x，就可以表示出CP=x，BP=x，用三角函数值可以求出∠EBC的度数和∠CEP的度数，就可以求出∠CEP=∠BEP，运用勾股定理及三角函数值就可以求出就可以求出BF、EF的值，从而可以求出结论．

设AD=x，AB=2x，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，CD=AB，∠D=∠C=∠ABC=90°．DC∥AB，

∴BC=x，CD=2x，

∵CP：BP=1：2，

∴CP=x，BP=x

∵E为DC的中点，

∴CE=CD=x，

∴∠CEP=30°，∠EBC=30°，

∴∠CEB=60°，

∴∠PEB=30°，

∴∠CEP=∠PEB，

∴EP平分∠CEB，故①正确；

∵DC∥AB，

∴∠CEP=∠F=30°，

∴∠F=∠EBP=30°，∠F=BEF=30°，

∴△EBP∽△EFB，

∴BE．BF=BP．EF．

∵∠F=BEF，

∴BE=BF，

∴BF2=PB?EF

∴△ABP∽△ECP

则正确的序号是①②③.

考点：矩形的性质，相似三角形的判定及性质，特殊角的正切值，勾股定理，直角三角形的性质