Question

已知：如图，在梯形ABCD中，AD // BC，AB⊥BC，点M在边BC上，且∠MDB =∠ADB，．

（1）求证：BM=CM；

（2）作BE⊥DM，垂足为点E，并交CD于点F．

求证：．

Answer

（1）证明线段相等，首选全等三角形，不行再选择证明等腰三角形，继而使用等量代换证明。

（2）通过证明相似形，找出相关比例，继而证明几何题中的代数关系。

【解析】

试题分析： 证明：（1）∵ AB⊥BC，∴ ∠ABC = 90º．

∵ AD // BC，∴ ∠CBD =∠ADB，∠BAD +∠ABC = 180º．

即得 ∠BAD = 90º．

∵ ，∴ ．

又∵ ∠CBD =∠ADB，

∴ △BCD∽△DBA．

∴ ∠BDC =∠BAD = 90º．

∴ ∠DBC +∠C = 90º．

∵ ∠MDB=∠ADB，∠MBD =∠ADB，

∴ ∠MBD =∠MDB．∴ BM = MD．

又∵ ∠BDM +∠CDM =∠BDC = 90º，

∴ ∠C =∠CDM．

∴ CM = MD．∴ BM = CM．

（2）∵ BE⊥DM，

∴ ∠DEF =∠BDC = 90º．

∴ ∠FDE +∠DFE = 90º，∠DBF +∠DFE = 90º．

∴ ∠FDE =∠DBF．

又∵ ∠FDE =∠C，

∴ ∠DBF =∠C．

于是，由 ∠FDB =∠BDC = 90º，∠DBF =∠C，

得 △FDB∽△BDC．

∴ ．即 ．

∵ BM = CM，∠BDC = 90º，∴ BC = 2DM．

又∵ ，

∴ ．

考点：相似三角形的性质