Question

如图，在△ABC中，AB=AC，

（1）若P是BC边上的中点，连结AP，求证：BP×CP=AB²一AP²；

（2）若P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗?若成立，请证明，若不成立，请说明理由；

（3）若P是BC边延长线上一点，线段AB、AP、BP、CP之间有什么样的关系?请证明你的结论？

Answer

（1）先连接AP，由于AB=AC，P是BC中点，利用等腰三角形三线合一定理可知AP⊥BC，再在直角三角形利用勾股定理可得AB2=BP2+AP2，即AB2-AP2=BP2，而BP=CP，易得BP?CP=BP2，那么此题得证；（2）成立；（3）AP2-AB2=BP?CP．

【解析】

试题分析：（1）先连接AP，由于AB=AC，P是BC中点，利用等腰三角形三线合一定理可知AP⊥BC，再在直角三角形利用勾股定理可得AB2=BP2+AP2，即AB2-AP2=BP2，而BP=CP，易得BP?CP=BP2，那么此题得证；

（2）成立．连接AP，作AD⊥BC，交BC于D，在等腰三角形ABC中利用三线合一定理，可知BD=CD，在Rt△ABD中，利用勾股定理可得AB2=AD2+BD2，同理有AP2=AD2+DP2，易求AB2-AP2的差，而BP=BD+DP，CP=CD-CP=BD-DP，易求BP?CP，从而可证AB2-AP2=BP?CP；

（3）AP2-AB2=BP?CP．连接AP，并做AD⊥BC，交BC于D，在△ABC中，利用等腰三角形三线合一定理可知

BC=CD，在Rt△ABC中和Rt△ADP中，利用勾股定理分别表示AP2、AB2，而BP=BD+DP，CP=DP-CD=DP-BD，

易求BP?CP的值，从而可证AP2-AB2=BP?CP．

（1）连接AP

∵AB=AC，P是BC中点，

∴AP⊥BC，BP=CP， 

在Rt△ABP中，AB2=BP2+AP2，

∴AB2-AP2=BP2，

又∵BP=CP，

∴BP?CP=BP2，

∴AB2-AP2=BP?CP；

（2）成立．

如右图所示，连接AP，作AD⊥BC，交BC于D，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD， 

在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，

同理，AP2=AD2+DP2，

∴AB2-AP2=AD2+BD2-（AD2+DP2）=BD2-DP2，

又∵BP=BD+DP，CP=CD-DP=BD-DP，

∴BP?CP=（BD+DP）（BD-DP）=BD2-DP2，

∴AB2-AP2=BP?CP；

（3）AP2-AB2=BP?CP．

如右图，P是BC延长线任一点，连接AP，并做AD⊥BC，交BC于D，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD，

在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，

在Rt△ADP中，AP2=AD2+DP2，

∴AP2-AB2=（AD2+BD2）-（AD2+DP2）=PD2-BD2，

又∵BP=BD+DP，CP=DP-CD=DP-BD，

∴BP?CP=（BD+DP）（DP-BD）=DP2-BD2，

∴AP2-AB2=BP?CP．

考点：等腰三角形的性质、勾股定理