Question

在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，

 

（1）将矩形纸片沿BD折叠，使点A落在点E处（如图①），设DE和BC相交于点F，试说明△BDF为等腰三角形，并求BF的长；

（2）将矩形纸片折叠，使B与D重合（如图②）求折痕GH的长。

Answer

（1）BF的长为；（2）GH的长为

【解析】

试题分析：（1）设BF=x，则FC=16-x，根据翻折的性质可得∠ADB=EDB，再有∠ADB=∠DBC，即可得到∠DBC=∠BDE，从而可得DF=BF=x，即△BDF为等腰三角形，在Rt△DCF中，根据勾股定理即可列方程求解；

（2）过点G作GO垂直于BC，根据翻折的性质可得DH=BH，再根据矩形的性质结合勾股定理列方程求得HC的长，证得△DHC≌△DGF，即可得到FG=AG=HC=，再根据勾股定理即可求得结果.

（1）设BF=x，则FC=16-x，

∵BD为折痕，

∴∠ADB=EDB，

又∠ADB=∠DBC，

∴∠DBC=∠BDE，

∴DF=BF=x，即△BDF为等腰三角形

Rt△DCF中，

x2=（8-x）2+62，

解得x=

（2）过点G作GO垂直于BC

因为折叠，所以DH=BH，

又因为矩形ABCD所以利用勾股定理得，

HC2+DC2=BH2，

x2+6×6=（8-x）2，

解得，

∵∠FDG+∠ADH=90°，∠HDC+∠ADH=90°，

∴∠HDC=∠FDG，

在△DHC和△DGF中，

∵∠F=∠C，FD=CD，∠FDG=∠HDC

∴△DHC≌△DGF

∴FG=AG=HC=，

所以OH=5.5，

HO2+GO2=GH2，

5.5×5.5+6×6=GH2，

解得GH=．

考点：翻折的性质，勾股定理