Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0，4），现有两动点P，Q，点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动．点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t（秒），当t=2（秒）时，PQ=2．

（1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围；

（2）连接AQ并延长交x轴于点E，把AE沿AD翻折交CD延长线于点F，连接EF，则△AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值；

（3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形APQF是梯形？

Answer

（1）D（8，4），0＜t＜4；（2）不变化；（3）t=（6﹣2）

【解析】

试题分析：（1）先求出t=2秒时OP、CQ的长，在Rt△PCQ中，由勾股定理可求得PC的长，从而得到OC的长，再根据矩形的性质即可得到点D的坐标，根据点P、点Q到达终点所需时间即得t的取值范围；

（2）先根据矩形的性质证得△AQD∽△EQC，再根据相似三角形的性质表示出CE的长，由翻折变换的性质可知DF=DQ=4﹣t，即可得到CF=CD+DF=8﹣t，再根据S=S梯形AOCF+S△FCE﹣S△AOE即可得到结果；

（3）若四边形APQF是梯形，因为AP与CF不平行，所以只有PQ∥AF，即得△CPQ∽△DAF，再根据相似三角形的性质即可求得t的值，再结合（1）中＜t＜4即可得到结果.

（1）由题意可知，当t=2（秒）时，OP=4，CQ=2，

在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC===4，

∴OC=OP+PC=4+4=8

又∵矩形AOCD，A（0，4），∴D（8，4）．

点P到达终点所需时间为=4秒，点Q到达终点所需时间为=4秒，

由题意可知，t的取值范围为：0＜t＜4；

（2）结论：△AEF的面积S不变化．

∵AOCD是矩形，∴AD∥OE，∴△AQD∽△EQC，

∴，即，解得CE=．

由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4﹣t，则CF=CD+DF=8﹣t．

S=S梯形AOCF+S△FCE﹣S△AOE=（OA+CF）?OC+CF?CE﹣OA?OE=×8+（8﹣t）?﹣×4×（8+）

化简得S=32为定值．所以△AEF的面积S不变化，S=32；

（3）若四边形APQF是梯形，因为AP与CF不平行，所以只有PQ∥AF．

由PQ∥AF可得：△CPQ∽△DAF，

∴，即，

化简得t2﹣12t+16=0，

解得：t1=6+2，t2=6﹣2，

由（1）可知，0＜t＜4，

∴t1=6+2不符合题意，舍去．

∴当t=（6﹣2）秒时，四边形APQF是梯形．

考点：动点综合题