Question

如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S₁，S₂，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．

（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？

（2）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．

Answer

（1）对，理由见解析 （2）见解析

【解析】

试题分析：（1）设△ABC的边AB上的高为h，由三角形的面积公式即可得出=，=，再由点D为边AB的黄金分割点可得出=，故可得出结论；

（2）由DF∥CE可知△DEC和△FCE的公共边CE上的高也相等，故S△DEC=S△FCE，设直线EF与CD交于点G，由同底等高的三角形的面积相等可知S△DEG=S△FEG，故可得出S△ADC=S四边形AFGD+S△FCG=S△AEF，再由S△BDC=S四边形BEFC，再由=可知=，故直线EF也是△ABC的黄金分割线．

【解析】
（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：

设△ABC的边AB上的高为h．

∵S△ADC=AD?h，S△EDC=BD?h，S△ABC=AB?h，

∴=，=，

又∵点D为边AB的黄金分割点，

∴=，

∴=，

∴直线CD是△ABC的黄金分割线；

（2）∵DF∥CE，

∴△DEC和△FCE的公共边CE上的高也相等，

∴S△DEC=S△FCE，

设直线EF与CD交于点G，

∴S△DEG=S△FCG，

∴S△ADC=S四边形AFGD+S△FCG=S四边形AFGD+S△DGE=S△AEF，

S△BDC=S四边形BEFC，．

又∵=，

∴=，

∴直线EF也是△ABC的黄金分割线．

考点：相似形综合题；黄金分割．