Question

已知：点C、A、D在同一条直线上，∠ABC=∠ADE=α，线段BD、CE交于点M．

（1）如图1，若AB=AC，AD=AE

①问线段BD与CE有怎样的数量关系？并说明理由；

②求∠BMC的大小（用α表示）；

（2）如图2，若AB=BC=kAC，AD=ED=kAE，则线段BD与CE的数量关系为　_________　，∠BMC=　_________　（用α表示）；

（3）在（2）的条件下，把△ABC绕点A逆时针旋转180°，在备用图中作出旋转后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），连接EC并延长交BD于点M．则∠BMC=　_________　（用α表示）．

Answer

（1）①BD=CE   ②180°﹣2α    （2）BD=kCE，90°﹣α     （3）90°+α

【解析】

试题分析：（1）如图1．

①BD=CE，理由如下：

∵AD=AE，∠ADE=α，

∴∠AED=∠ADE=α，

∴∠DAE=180°﹣2∠ADE=180°﹣2α，

同理可得：∠BAC=180°﹣2α，

∴∠DAE=∠BAC，

∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE，

即：∠BAD=∠CAE．

在△ABD与△ACE中，

∵，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD=CE；

②∵△ABD≌△ACE，

∴∠BDA=∠CEA，

∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，

∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=180°﹣2α；

（2）如图2．

∵AD=ED，∠ADE=α，

∴∠DAE==90°﹣α，

同理可得：∠BAC=90°﹣α，

∴∠DAE=∠BAC，

∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE，

即：∠BAD=∠CAE．

∵AB=kAC，AD=kAE，

∴AB：AC=AD：AE=k．

在△ABD与△ACE中，

∵AB：AC=AD：AE=k，∠BDA=∠CEA，

∴△ABD∽△ACE，

∴BD：CE=AB：AC=AD：AE=k，∠BDA=∠CEA，

∴BD=kCE；

∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，

∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=90°﹣α．

故答案为：BD=kCE，90°﹣α；

（3）如右图．

∵AD=ED，∠ADE=α，

∴∠DAE=∠AED==90°﹣α，

同理可得：∠BAC=90°﹣α，

∴∠DAE=∠BAC，即∠BAD=∠CAE．

∵AB=kAC，AD=kAE，

∴AB：AC=AD：AE=k．

在△ABD与△ACE中，

∵AB：AC=AD：AE=k，∠BAD=∠CAE，

∴△ABD∽△ACE，

∴∠BDA=∠CEA，

∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，∠MCD=∠CED+∠ADE=∠CED+α，

∴∠BMC=∠CED+α+∠CEA=∠AED+α=90°﹣α+α=90°+α．

故答案为：90°+α．

考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；作图-旋转变换．