Question

如图1所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B₁C₁⊥AC于C₁交AB的延长线于B₁．

（1）请你探究：，是否都成立？

（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断．

（3）如图2所示Rt△ABC中，∠ACB=90?，AC=8，AB=，E为AB上一点且AE=5，CE交其内角角平分线AD于F．试求的值．

Answer

（1）成立    （2）成立    （3）

【解析】

试题分析：（1）两个等式都成立．理由如下：

∵△ABC为等边三角形，AD为角平分线，

∴AD垂直平分BC，∠CAD=∠BAD=30°，AB=AC，

∴DB=CD，

∴=；

∵∠C1AB1=60°，

∴∠B1=30°，

∴AB1=2AC1，

又∵∠DAB1=30°，

∴DA=DB1，

而DA=2DC1，

∴DB1=2DC1，

∴=；

（2）结论仍然成立，理由如下：

如右图所示，△ABC为任意三角形，过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，

∴∠E=∠CAD=∠BAD，

∴BE=AB，

∵BE∥AC，

∴△EBD∽△ACD，

∴=

而BE=AB，

∴=；

（3）如图，连DE，

∵AD为△ABC的内角角平分线

∴===，==，

又∵==，

∴=，

∴DE∥AC，

∴△DEF∽△ACF，

∴==．

考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积；角平分线的性质；等边三角形的性质；勾股定理．