Question

已知：如图，四边形ABCD是正方形，BD是对角线，BE平分∠DBC交DC于E点，交DF于M，F是BC延长线上一点，且CE=CF．

（1）求证：BM⊥DF；

（2）若正方形ABCD的边长为2，求ME?MB．

Answer

（1）见解析    （2）4﹣2

【解析】

试题分析：（1）证明：在△BCE和△DCF中，

∵，

∴△BCE≌△DCF（SAS），

∴∠EBC=∠FDC（全等三角形的对应边相等），即∠EBC=∠EDM，

在△BCE和△DME中，

∵，

∴△BCE∽△DME，

∴∠BCE=∠DME=90°（相似三角形的对应角相等），即BM⊥DF；

（2）【解析】
∵BC=2，

∴BD=2．

又∵BE平分∠DBC交DF于M，BM⊥DF，

∴BD=BF（等腰三角形“三合一”的性质），DM=FM，

∴CF=2﹣2．

在△BMF和△DME中，

∠MBF=∠MDE，∠BMF=∠DME=90°，

∴△BMF∽△DME，

∴=，

∴=，即ME?MB=MD2，

∵DC2+FC2=（2DM）2，即22+（2﹣2）2=4DM2，

∴DM2=4﹣2，即ME?MB=4﹣2．

考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质．