Question

如图，正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，DE=CF，AF与BE相交于O，DG⊥AF，垂足为G．

（1）求证：AF⊥BE；

（2）试探究线段AO、BO、GO的长度之间的数量关系；

（3）若GO：CF=4：5，试确定E点的位置．

Answer

（1）见解析   （2）BO=AG=AO+OG   （3）AE=AD

【解析】

试题分析：（1）证明：∵ABCD为正方形，且DE=CF，

∴AE=DF，AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°，

∴△ABE≌△DAF，

∴∠ABE=∠DAF，又∵∠ABE+∠AEB=90°，

∴∠DAF+∠AEB=90°，

∴∠AOE=90°，即AF⊥BE；

（2）【解析】
BO=AO+OG．

理由：由（1）的结论可知，

∠ABE=∠DAF，∠AOB=∠DGA=90°，AB=AD，

则△ABO≌△DAG，

所以，BO=AG=AO+OG；

（3）【解析】
过E点作EH⊥DG，垂足为H，

由矩形的性质，得EH=OG，

∵DE=CF，GO：CF=4：5，∴EH：ED=4：5，

∵AF⊥BE，AF⊥DG，∴OE∥DG，

∴∠AEB=∠EDH，△ABE∽△HED，

∴AB：BE=EH：ED=4：5，

在Rt△ABE中，AE：AB=3：4，

故AE：AD=3：4，

即AE=AD．

考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．