Question

观察下列各式：

（x﹣1）（x+1）=x²﹣1，

（x﹣1）（x²+x+1）=x³﹣1，

（x﹣1）（x³+x²+x+1）=x⁴﹣1，

（x﹣1）（x⁴+x³+x²+x+1）=x⁵﹣1，

（1）根据前面各式的规律可得：（x﹣1）（xⁿ+x^n﹣1+…+x²+x+1）=　_________　（其中n为正整数）．

（2）根据（1）求1+2+2²+2³+…+2⁶²+2⁶³的值，并求出它的个位数字．

Answer

（1）xn+1﹣1   （2）5

【解析】

试题分析：（1）根据各式的规律即可用n表示出结果；

（2）将所求式子乘以1，即2﹣1，利用上述规律即可得到结果；再由21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…，个位数字分别为2，4，8，6循环，且64÷4=16，即可得出结果的个位数字．

【解析】
（1）根据各式的规律可得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x2+x+1）=xn+1﹣1；

（2）根据各式的规律得：1+2+22+23+…+262+263=（2﹣1）（263+262+…+23+22+2+1）=264﹣1，

∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…，且64÷4=16，

∴264个位上数字为6，

则1+2+22+23+…+262+263的个位数字为5．

故答案为：（1）xn+1﹣1．（2）5

考点：平方差公式