Question

通常，我们把长方形和正方形统称为矩形．如图1，是一个长为2a，宽为2b的矩形ABCD，若把此矩形沿图中的虚线用剪刀均分为4块小长方形，然后按照图2的形状拼成一个正方形MNPQ．

（1）分别从整体和局部的角度出发，计算图2中阴影部分的面积，可以得到等式　_________　．

（2）仔细观察长方形ABCD与正方形MNPQ，可以发现它们的　_________　相同，　_________　不同．（选填“周长”或“面积”）

（3）根据上述发现，猜想结论：用总长为36米的篱笆围成一个矩形养鸡场，可以有许多不同的围法．在你围的所有矩形中，面积最大的矩形的面积是　_________　米²．

Answer

（1）（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab；（2）周长，面积；（3）81．

【解析】

试题分析：（1）整体上求出内部的小正方形的边长，然后用大正方形的面积减去小正方形的面积就是阴影部分的面积，从局部考虑，求出四个小矩形的面积就是阴影部分的面积；

（2）从图2的面积比图1的面积大里面小正方形的面积考虑；

（3）根据（2）的结论，周长相等的情况下，正方形的面积比矩形的面积大，所以围成的正方形的面积最大，然后根据正方形进行计算即可．

【解析】
（1）整体考虑：里面小正方形的边长为a﹣b，

∴阴影部分的面积=（a+b）2﹣（a﹣b）2，

局部考虑：阴影部分的面积=4ab，

∴（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab；

（2）图1周长为：2（2a+2b）=4a+4b，

面积为：4ab，

图2周长为：4（a+b）=4a+4b，

面积为（a+b）2=4ab+（a﹣b）2≥4ab，

当且仅当a=b时取等号；

∴周长相同，面积不相同；

（3）根据（2）的结论，围成正方形时面积最大，

此时，边长为36÷4=9米，

面积=92=81米2．

故答案为：（1）（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab；（2）周长，面积；（3）81．

考点：完全平方公式的几何背景