Question

九年级数学兴趣小组组织了以“等积变形”为主题的课题研究．

第一学习小组发现：如图（1），点A、点B在直线l₁上，点C、点D在直线l₂上，若l₁∥l₂，则S_△ABC=S_△ABD；反之亦成立．

第二学习小组发现：如图（2），点P是反比例函数上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，则矩形OMPN的面积为定值|k|．

请利用上述结论解决下列问题：

（1）如图（3），四边形ABCD、与四边形CEFG都是正方形点E在CD上，正方形ABCD边长为2，则S_△BDF=　2　．

（2）如图（4），点P、Q在反比例函数图象上，PQ过点O，过P作y轴的平行线交x轴于点H，过Q作x轴的平行线交PH于点G，若S_△PQG=8，则S_△POH=　2　，k=　﹣4　．

（3）如图（5）点P、Q是第一象限的点，且在反比例函数图象上，过点P作x轴垂线，过点Q作y轴垂线，垂足分别是M、N，试判断直线PQ与直线MN的位置关系，并说明理由．

Answer

（1）2，（2）2，﹣4．（3）平行，理由见解析

【解析】

试题分析：（1）连接CF，根据正方形的性质可知，CF∥BD，△CBD与△FBD同底等高，故S△BDF=S△BDC，可求解；

（2）设P（x，y），则k=xy，根据P点所在象限及P、Q关于原点中心对称，得GQ=﹣2x，PG=2y，由已知，得S△PQG=×GQ×PG=8，可求S△POH及k的值；

（3）作PA⊥y轴，QB⊥x轴，垂足为A，B，连接PN，MQ，根据双曲线的性质可知，S矩形AOMP=S矩形BONQ=k，可得S矩形ANCP=S矩形BMCQ，则有S△NCP=S△MCQ，S△NPQ=S△MPQ，可证PQ∥MN．

【解析】
（1）连接CF，

∵四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，

∴CF∥BD，△CBD与△FBD同底等高，

∴S△BDF=S△BDC=S正方形ABCD=2；

（2）设P（x，y），则k=xy，

根据题意，得GQ=﹣2x，PG=2y，

∴S△PQG=×GQ×PG=8，即?（﹣2x）?2y=8，

解得xy=﹣4，即k=﹣4，

S△POH=×OH×PH=﹣xy=2；

（3）PQ∥MN．

理由：作PA⊥y轴，QB⊥x轴，垂足为A，B，连接PN，MQ，

根据双曲线的性质可知，S矩形AOMP=S矩形BONQ=k，

∴S矩形ANCP=S矩形BMCQ，可知S△NCP=S△MCQ，

∴S△NPQ=S△MPQ，

∴PQ∥MN．

故本题答案为：（1）2，（2）2，﹣4．

考点：反比例函数综合题；三角形的面积．