Question

分解因式：

（1）x⁹+x⁶+x³﹣3；

（2）（m²﹣1）（n²﹣1）+4mn；

（3）（x+1）⁴+（x²﹣1）²+（x﹣1）⁴；

（4）a³b﹣ab³+a²+b²+1．

Answer

（1）（x﹣1）（x2+x+1）（x6+2x3+3）

（2）（mn+m﹣n+1）（mn﹣m+n+1）

（3）（3x2+1）（x2+3）

（4）（a2﹣ab+1）（b2+ab+1）

【解析】

试题分析：（1）首先将﹣3拆成﹣1﹣1﹣1，多项式变为（x9﹣1）+（x6﹣1）+（x3﹣1），然后分别利用公式法分解因式即可求解；

（2）首先将4mn拆成2mn+2mn，多项式变为（m2n2+2mn+1）﹣（m2﹣2mn+n2），然后分别利用公式法分解因式即可求解；

（3）首先将（x2﹣1）2拆成2（x2﹣1）2﹣（x2﹣1）2，多项式变为[（x+1）4+2（x+1）2（x﹣1）2+（x﹣1）4]﹣（x2﹣1）2，然后利用公式法分解因式即可求解；

（4）首先添加两项+ab﹣ab，多项式变为（a3b﹣ab3）+（a2﹣ab）+（ab+b2+1），然后分别分解因式，接着提取公因式即可求解．

【解析】
（1）原式=x9+x6+x3﹣1﹣1﹣1

=（x9﹣1）+（x6﹣1）+（x3﹣1）

=（x3﹣1）（x6+x3+1）+（x3﹣1）（x3+1）+（x3﹣1）

=（x3﹣1）（x6+2x3+3）

=（x﹣1）（x2+x+1）（x6+2x3+3）；

（2）原式=（m2﹣1）（n2﹣1）+2mn+2mn

=m2n2﹣m2﹣n2+1+2mn+2mn

=（m2n2+2mn+1）﹣（m2﹣2mn+n2）

=（mn+1）2﹣（m﹣n）2

=（mn+m﹣n+1）（mn﹣m+n+1）；

（3）原式=（x+1）4+2（x2﹣1）2﹣（x2﹣1）2+（x﹣1）4

=[（x+1）4+2（x+1）2（x﹣1）2+（x﹣1）4]﹣（x2﹣1）2

=[（x+1）2+（x﹣1）2]2﹣（x2﹣1）2

=（2x2+2）2﹣（x2﹣1）2=（3x2+1）（x2+3）；

（4）原式=a3b﹣ab3+a2+b2+1+ab﹣ab

=（a3b﹣ab3）+（a2﹣ab）+（ab+b2+1）

=ab（a+b）（a﹣b）+a（a﹣b）+（ab+b2+1）

=a（a﹣b）[b（a+b）+1]+（ab+b2+1）

=[a（a﹣b）+1]（ab+b2+1）

=（a2﹣ab+1）（b2+ab+1）．

考点：因式分解-分组分解法；因式分解-提公因式法．