Question

已知抛物线y＝ax²＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．

(1)求抛物线的解析式和对称轴；      

(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC是以AC为斜边的Rt△时，求点P的坐标；

(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

(4)设过点A的直线与抛物线在第一象限的交点为N，当△ACN的面积为时，求直线AN的解析式.

Answer

（1）y=-x2+2x+3  (2) P1(1,1),P2(1,2)   (3)

【解析】

试题分析：

【解析】
（1）将三点代入y=ax2+bx+c中，易求解析式为：

对称轴为：直线 

（2）设点P（1，y）是直线l上的一个动点，作CF⊥l于F，l交x轴于E，

则AC2＝AO2＋CO2＝10，CP2＝CF2＋PF2＝1＋（3－y）2＝

AP2＝AE2＋PE2＝4＋y2, ∴由CP2＋AP2＝AC2，

得：＋4＋y2＝10，解得或

∴P点的坐标为P1（1，1）、P2（1, 2）

解法二; 用△相似解法更简单如下：

∵CP⊥AP，∴△CPF∽△PAE，∴，∴∴解得或

（3）

设点M（1，m）, 与（2）同理可得：AC2＝10，CM2＝，AM2＝4＋m2

①当AC＝CM时，10＝，解得：m＝0或m＝6（舍去）

②当AC＝AM时，10＝4＋m2, 解得：m＝或m＝

③当CM＝AM时，＝4＋m2，解得：m＝1

检验：当m＝6时，M、A、C三点共线，不合题意，故舍去；

综上可知，符合条件的M点有4个，

M坐标为(1，0) 、(1，)、(1，－)、(1，1)

(4)设直线AN的解析式为，且交y轴于点K，∵过点A（―1, 0），∴，

∴K（0，k），∵N是直线AN与抛物线的交点，∴，解得x＝3―k，

或x＝―1（舍去），∴N点的横坐标为x＝3―k（k＜3）  

由S△ACN＝S△ACK＋S△CKN＝CK·OA＋CK·NJ＝（3―k）×1＋（3―k）2

＝

令＝，解得k＝（舍去），或k＝，

∴直线AN的解析式为

考点：一次函数，二次函数图像及性质，相似三角形判定及性质，三角形面积公式，等腰三角形性质。