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已知:如图,点P是正方形ABCD内的一点,连结PA,PB,PC. (1)如图甲,...

已知:如图,点P是正方形ABCD内的一点,连结PA,PB,PC.

说明: 满分5 manfen5.com

(1)如图甲,将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△说明: 满分5 manfen5.com的位置.

①设AB的长为a,PB的长为b(b<a),求△PAB旋转到△说明: 满分5 manfen5.com的过程中边PA所扫过区域 (图甲中阴影部分)的面积;

②若PA=3,PB=6,∠APB=135°,求PC的长.

(2)如图乙,若PA2+PC2=2PB2,请说明点P必在对角线AC上.

 

(1)①②6;(2)将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置,由勾股逆定理证出∠=90°,再证∠BPC+∠APB=180°,即点P在对角线AC上. 【解析】 试题分析:(1)①△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域(图1中阴影部分)的面积实际是大扇形OAC与小扇形BPP′的面积差,且这两个扇形的圆心角同为90度; ②连接PP′,证△PBP′为等腰直角三角形,从而可在Rt△PP′C中,用勾股定理求得PC=6; (2)将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置,由勾股逆定理证出∠=90°,再证∠BPC+∠APB=180°,即点P在对角线AC上. ②连接PP′ 根据旋转的性质可知: BP=BP′,∠PBP′=90°; 即:△PBP′为等腰直角三角形, ∴∠BPP′=45°, ∵∠BPA=∠BP′C=135°,∠BP′P=45°, ∴∠BPA+∠BPP′=180°, 即A、P、P′共线, ∴∠PP′C=135°-45°=90°; 在Rt△PP′C中,PP′=4,P′C=PA=2,根据勾股定理可得PC=6. (2)将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置,连接PP′. 同(1)①可知:△BPP′是等腰直角三角形,即PP′2=2PB2; ∵PA2+PC2=2PB2=PP′2, ∴PC2+P′C2=PP′2, ∴∠P′CP=90°; ∵∠PBP′=∠PCP′=90°,在四边形BPCP′中,∠BP′C+∠BPC=180°; ∵∠BPA=∠BP′C, ∴∠BPC+∠APB=180°,即点P在对角线AC上. 考点:扇形的面积公式,旋转的性质,三角形的性质,正方形的性质
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