Question

如图，Rt△ABC中∠C=90°，∠A=30°在AC边上取点O画圆使⊙O经过A、B两点，下列结论中：①；②；③以O为圆心，以OC为半径的圆与AB相切；④延长BC交⊙O与D，则A、B、D是⊙O的三等分点．正确的序号是        ．

Answer

①③④

【解析】

试题分析：连接OB，可得∠ABO=30°，则∠OBC=30°，根据直角三角形的性质得OC=OB=OA，再根据三角函数cos∠OBC=，则BC=OB，因为点O在∠ABC的角平分线上，所以点O到直线AB的距离等于OC的长，根据垂径定理得直线AC是弦BD的垂直平分线，则点A、B、D将⊙O的三等分．

连接OB

∴OA=OB，

∴∠A=∠ABO，

∵∠C=90°，∠A=30°，

∴∠ABC=60°，

∴∠OBC=30°，

∴OC=OB=OA，

即OA=2OC，

故①正确；

∵cos∠OBC=，

∴BC=OB，即BC=OA

故②错误；

∵∠ABO=∠OBC=30°，

∴点O在∠ABC的角平分线上，

∴点O到直线AB的距离等于OC的长，

即以O为圆心，以OC为半径的圆与AB相切；

故③正确；

延长BC交⊙O于D，

∵AC⊥BD，

∴AD=AB，

∴△ABD为等边三角形，

∴点A、B、D将⊙O的三等分．

故④正确．

故答案为①③④．

考点：直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理，角平分线的判定和性质，等边三角形的判定和性质