Question

如图1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若∠1=∠2=∠3=∠4，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．图2，图3，图4中，四边形ABCD为矩形，且AB=4，BC=8．

 

（1）理解与作图：在图2，图3中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的反射四边形EFGH．

（2）计算与猜想：求图2，图3中反射四边形EFGH的周长，并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值？

（3）启发与证明：如图4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M，试利用小华同学给我们的启发证明（2）中的猜想．

Answer

1）作图如下：

（2）四边形EFGH的周长为，四边形EFGH的周长也为。

猜想：矩形ABCD的反射四边形的周长为定值。

（3）通过延长GH交CB的延长线于点N，求得，得出矩形ABCD的反射四边形的周长为定值。

【解析】

试题分析：【解析】
（1）作图如下：

（2）在图2中， ，

∴四边形EFGH的周长为。

在图3中，，，

∴四边形EFGH的周长为。

猜想：矩形ABCD的反射四边形的周长为定值。

（3）延长GH交CB的延长线于点N，

∵，，

∴。

又∵FC=FC，

∴Rt△FCE≌Rt△FCM（ASA）。

∴EF=MF，EC=MC。

同理：NH=EH，NB=EB。∴MN=2BC=16。

∵，，，∴。

∴GM=GN。

过点G作GK⊥BC于K，则。

∴。

∴四边形EFGH的周长为。∴矩形ABCD的反射四边形的周长为定值

考点：网格问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质。