Question

（本题8分）如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，OF⊥AC于点F．

（1）请写出两条与BC有关的正确结论；

（2）当∠D=30°，BC=1时，求圆中阴影部分的面积．

Answer

（1）答案不唯一，只要合理均可．例如：

（2）  ①；②；③；④；⑤是直角三角形；⑥是等腰三角形． 

（2）

【解析】

试题分析：（1）根据垂径定理可以进一步证明△CBE≌△DBE，得出BC=BD

根据直径所对的圆周角等于90°，可以得出BC⊥AC,进而得出OF∥BC

根据垂径定理可以得出弧BC和弧BD相等，所以∠BCD=∠A

根据CE⊥BE,根据勾股定理可以得出

根据直径所对的圆周角等于90°，可以得出是直角三角形

根据垂径定理可以进一步证明△CBE≌△DBE，得出BC=BD，即是等腰三角形

（2）连接CO

∠D＝30°，同弧所对圆周角相等，所以∠A＝∠D，∴∠A＝30°

因为AB是直径，所以∠ACB=90°

∴AB=2BC=2

在Rt△AFO中

，根据勾股定理得出，，AC=2AF=

阴影部分面积= S扇形AOC-S△AOC

S△AOC =

因为CO=AO,OF=OF，根据垂径定理，AF=CF

所以△AOF≌△COF,所以∠COF=∠AOF=60°,

所以∠AOC=120°

所以S扇形AOC =

阴影部分面积=

考点：圆的综合应用，勾股定理，扇形面积的计算