Question

（1）如图①，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．求证：AE=CF．

（2）如图②，将?ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A₁处，点B落在点B₁处，设FB₁交CD于点G，A₁B₁分别交CD，DE于点H，I．求证：EI=FG．

Answer

（1）通过证明△AOE和△COF全等得出AE=CF（2）通过证明△A1IE与△CGF全等得出EI=FG..

【解析】

试题分析：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，OA=OC，

∴∠1=∠2，

在△AOE和△COF中，

，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，由（1）得AE=CF，

由折叠的性质可得：AE=A1E，∠A1=∠A，∠B1=∠B，

∴A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，又∵∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵∠5=∠3，∠4=∠6，∴∠5=∠6，在△A1IE与△CGF中，

，∴△A1IE≌△CGF（AAS），∴EI=FG．

考点：全等三角形的性质