Question

问题：如图1，在正方形ABCD内有一点P,PA=,PB=,PC=1，求∠BPC的角度．

分析：根据已知条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换，将分散的已知条件集中在一起，于是将△BPC绕点Ｂ逆时针旋转90^０，得到了△BP_１A（如图2），然后连接PP₁.

解决问题：请你通过计算求出图2中∠BPC的角度；

类比研究：如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=,PB=4,PC=2．

（1）请你通过计算求出∠BPC的度数；

（2）直接写出正六边形ABCDEF的边长为              ．

Answer

解决问题1350；类比研究（1）1200；（2）2

【解析】

试题分析：（1）根据旋转的性质得到∠P′BP=90°，BP′=BP=，P′A=PC=1，∠BP′A=∠BPC，则△BPP′为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得PP′=PB=2，∠BP′P=45°，利用勾股定理的逆定理可得到△APP′为直角三角形，且∠AP′P=90°，则∠BPC=∠BP′A=45°+90°=135°；

（2）把△BPC绕点B逆时针旋转120°，得到了△BP′A，根据旋转的性质得到∠P′BP=120°，BP′=BP=4，P′A=PC=2，∠BP′A=∠BPC，则∠BP′P=∠BPP′=30°，得到P′H=PH，利用含30°的直角三角形三边的关系得到BH=BP′=2，P′H=BH=2，得到P′P=2P′H=4，再利用勾股定理的逆定理可得到△APP′为直角三角形，且∠AP′P=90°，于是有∠BPC=∠BP′A=30°+90°=120°；过A作AG⊥BP′于G点，利用含30°的直角三角形三边的关系得到GP′=AP′=1，AG=GP′=，然后在Rt△AGB中利用勾股定理即可计算出AB长．

（1）∵△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A，

∴∠P′BP=90°，BP′=BP=，P′A=PC=1，∠BP′A=∠BPC，

∴△BPP′为等腰直角三角形，

∴PP′=PB=2，∠BP′P=45°，

在△APP′中，AP=，PP′=2，AP′=1，

∵（）2=22+12，

∴AP2=PP′2+AP′2，

∴△APP′为直角三角形，且∠AP′P=90°

∴∠BP′A=45°+90°=135°，

∴∠BPC=∠BP′A=135°；

（2）∵六边形ABCDEF为正六边形，

∴∠ABC=120°，

把△BPC绕点B逆时针旋转120°，得到了△BP′A，

∴∠P′BP=120°，BP′=BP=4，P′A=PC=2，∠BP′A=∠BPC，

∴∠BP′P=∠BPP′=30°，

过B作BH⊥PP′于H，

∵BP′=BP，

∴P′H=PH，

在Rt△BP′H中，∠BP′H=30°，BP′=4，

∴BH=BP′=2，P′H=BH=2，

∴P′P=2P′H=4，

在△APP′中，AP=2，PP′=4，AP′=2，

∵（2）2=（4）2+22，

∴AP2=PP′2+AP′2，

∴△APP′为直角三角形，且∠AP′P=90°，

∴∠BP′A=30°+90°=120°，

∴∠BPC=120°，

过A作AG⊥BP′于G点，

∴∠AP′G=60°，

在Rt△AGP′中，AP′=2，∠GAP′=30°，

∴GP′=AP′=1，AG=GP′=，

在Rt△AGB中，GB=GP′+P′B=1+4=5，

即正六边形ABCDEF的边长为2．

考点：旋转的性质，正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理与逆定理，含30°的直角三角形的性质