Question

已知点A，B分别是两条平行线m，n上任意两点，C是直线n上一点，且∠ABC=90°，点E在AC的延长线上，BC=kAB（k≠0）．

（1）当k=1时，在图（1）中，作∠BEF=∠ABC，EF交直线m于点F．写出线段EF与EB的数量关系，并加以证明；

（2）若k≠1，如图（2），∠BEF=∠ABC，其它条件不变，探究线段EF与EB的数量关系，并说明理由．

Answer

(1) EF=EB；（2）EB=KEF

【解析】

试题分析：（1）在直线m上截取AM=AB，连接ME，易证△MAE≌△BAE，则EM=EB，再根据等角对等边即可证明EM=EF，从而得到结果

（2）过点E作EM⊥m，可以证明四边形MENA为矩形，进而即可证明△MEF∽△NEB，根据相似三角形的对应边的比相等即可得到结果．

（1）在直线m上截取AM=AB，连接ME

BC=kAB，k=1，

∴BC=AB，

∠ABC=90°，

∴∠CAB=∠ACB=45°，

∵m∥n，

∴∠MAE=∠ACB=∠CAB=45°，

∠FAB=90°，

∵AE=AE，

∴△MAE≌△BAE，

∴EM=EB，∠AME=∠ABE，

∵∠BEF=∠ABC=90°，

∴∠FAB+∠BEF=180°，

∴∠ABE+∠EFA=180°，

又∵∠AME+∠EMF=180°，

∴∠EMF=∠EFA，

∴EM=EF，

∴EF=EB；

（2）过点E作EM⊥m，EN⊥AB，垂足为M，N，

∴∠EMF=∠ENA=90°，

∵m∥n，∠ABC=90°，

∴∠MAB=90°，

∴四边形MENA为矩形，

∴ME=NA，∠MEN=90°，

∵∠BEF=∠ABC=90°，

∴∠MEF=∠NEB，

∴△MEF∽△NEB，

∴，

∴

在Rt△ANE和Rt△ABC中，

∴EB=KEF.

考点：全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定