Question

如图，抛物线与轴交于点A(－1，0)、B(3，0)，与轴交于点C(0，3)．

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)若P为线段BD上的一个动点，点P的横坐标为m，试用含m的代数式表示点P的纵坐标；

(3)过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标；

(4)若点F是第一象限抛物线上的一个动点，过点F作FQ∥AC交x轴于点Q．当点F的坐标为          时，四边形FQAC是平行四边形；当点F的坐标为           时，四边形FQAC是等腰梯形(直接写出结果，不写求解过程)．

Answer

（1）（1，4）（2）（3）m=时（）

【解析】

试题分析：（1）∵抛物线与x轴交于点A(－1，0)、B(3，0)，

∴可设抛物线的解析式为：             1分

又∵抛物线 与y轴交于点C(0，3)，

∴

∴                                     

∴                        

即抛物线的解析式为：                  2分

∴

∴抛物线顶点D的坐标为（1，4）                     3分

（2）设直线BD的解析式为：

由B（3，0），D（1，4）得

解得

∴直线BD的解析式为                      5分

∵点P在直线PD上，点P的横坐标为m

∴点P的纵坐标为：                          6分

（3）由（1），（2）知：

OA=1，OC=3，OM= m，PM=

∴ 

                        8分

∵，∴当时，四边形PMAC的面积取得最大值为 9分

此时点P的坐标为（）                        10分

（4） （2，3）；（） （每空1分）   

考点：二次函数及其应用