Question

如图，AB是⊙O的直径，直线EF切⊙O于点C， AD⊥EF于点D．

（1）求证：AC平分∠BAD；

（2）若⊙O的半径为2，∠ACD＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留）

Answer

（1）根据角平分线把角平分的性质来求证此角（2）

【解析】

试题分析：（1）证明：连接OC

∵直线EF切⊙O 于点C

∴OC⊥EF

∵AD⊥EF

∴OC∥AD                                  2分

∴∠OCA=∠DAC

∵ OA=OC

∴∠BAC=∠OCA                            4分

∴∠DAC=∠BAC

即AC平分∠BAD                            5分

（2）∵∠ACD=30°，∠OCD=90°

∴∠OCA=60°.

∵OC=OA

∴△OAC是等边三角形

∵⊙O的半径为2

∴AC=OA=OC=2，∠AOC=60°                    7分

∵在Rt△ACD中，AD=AC=1

由勾股定理得：DC=                       8分

∴阴影部分的面积=S梯形OCDA﹣S扇形OCA

=×（2+1）×﹣

∴阴影部分的面积为：      

考点：等边三角形，角平分线