Question

如图：已知正方形ABCD的对角线AC长为20cm，半径为1的⊙O₁的圆心O₁从A点出发以1cm/s的速度向C运动，半径为1的⊙O₂的圆心O₂从C点出发以2cm/s的速度向A运动且半径同时也以1cm/s的速度不断增大，两圆同时运动，当其中一个圆的圆心运动到AC的端点时，另一个圆也停止运动．

（1）当O₁运动了几秒时，⊙O₁与AD相切？

（2）当O₂运动了几秒时，⊙O₂与CB相切？

（3）当O₂运动了几秒时，⊙O₁与⊙O₂相切？

Answer

（1）（2）（3）4.5秒、5秒、10秒

【解析】

试题分析：

【解析】
（1）设⊙O1运动了t秒时⊙O1与AD相切于E连接OE，∴OE⊥AD，∵AC为正方形的对角线，∴△A O1E为等腰直角三角形，∴AE=O1E=1，∵A O1=t∴t2=12+12，解得t1=，t2=-（舍去），当O1运动了秒时⊙O1与AD相切；

（2）设O2运动了t秒时，⊙O2与BC相切于F，则△C O2F为等腰直角三角形，

∴CF=O2F=t+1，∵C O2=2t，∴（2t）2=（t+1）2+（t+1）2

解得t1=，t2=（舍去），∴当O2运动了（）秒时，⊙O2与BC相切；

（3）设运动了t秒时⊙O1，⊙O2相切，则O1A=t，O2C=2t，①如图③⊙O1与⊙O2第一次相切时，则O1 O2=1+t+1，∵O1 O2=AC-O1A-O2C，∴1+t+1=20-t-2t，解得t=，

②如图④⊙O1与⊙O2第二次相切时则O1 O2=t+1-1，∵O1 O2=20-t-2t，∴t+1-1=20-t-2t  解得t=5，（2分）

③如图⑤⊙O1与⊙O2第三次相切时则O1 O2=t+1-1=t，∵O1 O2=O1A-O2C-AC=t+2t-20，∴t=t+2t-20， 解得t=10，∵t=10时，O2C=2×10=20∴此时O2落在AC的端点A上，（2分）∴当运动了4.5秒、5秒、10秒时⊙O1与⊙O2相切．

考点：圆与圆的位置