Question

矩形ABCD中，AD=5，AB=3，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A的对应点A′落在线段BC上，再打开得到折痕EF．

（1）当A′与B重合时（如图1），EF=       ；当折痕EF过点D时（如图2），求线段EF的长；

（2）观察图3和图4，设BA′=，①当的取值范围是       时，四边形AEA′F是菱形；②在①的条件下，利用图4证明四边形AEA′F是菱形．

Answer

（1）5， （2）①3≤≤5

【解析】

试题分析：【解析】
(1)由折叠（轴对称）性质知A′D=AD=5，∠A=∠EA′D=900。 在R t△ A′DC中，DC=AB=3，∴ 。∴A′B=BC－A′C=5－4=1。设AE=，则BE=，在直角△A′BE中，，∴ 。在R t △AEF中，。,

（2）①有图可知，当BA′=3时，四边形AEA′F是正方形，也是特殊的菱形，当A′移到与C重合时，四边形AEA′F还是菱形，在这个过程中四边形都是菱形，所以3≤≤5。②可以通过证明四边相等的平行四边形是菱形。证明：由折叠（轴对称）性质知∠AEF=∠FEA′，AE=A′E，AF=A′F。又 ∵AD∥BC，∴∠AFE="∠FEA′" 。∴∠AEF="∠AFE" 。∴AE=AF。∴AE=A′E=AF=A′F。∴四边形AEA′F是菱形。

考点：勾股定理和菱形的证明