Question

如图甲，在中，为锐角，点为射线上一点，连接，以为一边且在的右侧作正方形．解答下列问题：

（1）如果，，

①当点在线段上时（与点不重合），如图乙，线段之间的位置关系为    ，数量关系为           ．

②当点在线段的延长线时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？

（2）如果，，点在线段上运动．试探究：当满足一个什么条件时，（点重合除外）？画出图形，并说明理由．（画图不写作法）.

Answer

（1）①位置关系：互相垂直；数量关系：BD=CF；②成立；（2）∠ACB=45°

【解析】

试题分析：（1）当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，所以CF=BD，∠ACF=∠ABD．结合∠BAC=90°，AB=AC，得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度．即CF⊥BD．

（2）当∠ACB=45°时，过点A作AG⊥AC交CB或CB的延长线于点G，则∠GAC=90°，可推出∠ACB=∠AGC，所以AC=AG，由（1）①可知CF⊥BD．

（1）线段之间的位置关系：互相垂直；数量关系：BD=CF；

②∵∠FAD=∠BAC=90°

∴∠BAD=∠CAF

在△BAD与△CAF中，

∴△BAD≌△CAF（SAS）

∴CF=BD，∠ACF=∠ACB=45°，

∴∠BCF=90°

∴CF⊥BD ；

（2）当∠ACB=45°时可得CF⊥BC，理由如下：

过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G

则∵∠ACB=45°

∴AG=AC∠AGC=∠ACG=45°

∵AG=AC，AD=AF，

∵∠GAD=∠GAC-∠DAC=90°-∠DAC，∠FAC=∠FAD-∠DAC=90°-∠DAC，

∴∠GAD=∠FAC，

∴△GAD≌△CAF（SAS）

∴∠ACF=∠AGD=45°

∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90°

∴CF⊥BC.

考点：三角形全等的判定和直角三角形的判定