Question

如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，BD是⊙O的直径， AD与BC交于点E，F在DA的延长线上，且BF=BE．

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（1）试判断BF与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若BF=6，cosC=，求⊙O的直径．

Answer

（1）相切；（2）8

【解析】

试题分析：（1）先根据圆周角定理可得∥DAB=90°，即可得到∠1+∠2+∠D=90°，再根据等腰三角形的性质可得∠2=∠3，由AB=AC结合圆周角定理可得∠D=∠C=∠2=∠3，即得∠1+∠2+∠3=90°，即得结论；

（2）由∠D=∠C可得cosD=cosC=，即得tanD=，解Rt△DBF即可求得结果.

（1）如图

∵DB是⊙O的直径

∴∠DAB=90°

∴∠1+∠2+∠D=90°

∵BE=BF，BA⊥EF

∴∠2=∠3

∵AB=AC，

∴∠D=∠C=∠2=∠3

∴∠1+∠2+∠3=90°

即OB⊥BF于B

∴直线BF是⊙O的切线；

（2）∵∠D="∠C"

∴cosD=cosC= 

∴tanD=

在Rt△DBF中，∠DBF=90°，BF=6，tanD=，

∴BD=8

答:⊙O的直径为8.

考点：圆的综合题