Question

如图，抛物线y＝x²－x－12与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点．

（1）求△AOB的外接圆的面积；

（2）若动点P从点A出发，以每秒2个单位沿射线AC方向运动；同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位沿射线BA方向运动，当点P到达点C处时，两点同时停止运动。问当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似？

（3）若M为线段AB上一个动点，过点M作MN平行于y轴交抛物线于点N．

①是否存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

②当点M运动到何处时，四边形CBNA的面积最大？求出此时点M的坐标及四边形CBAN面积的最大值．

Answer

（1）π；（2）t＝；（3）①不存在；②M（，－6），

【解析】

试题分析：（1）由题意得△AOB为直角三角形，分别求得抛物线y＝x2－x－12与x轴、y轴的交点A、B的坐标，再根据勾股定理求得AB的长，最后根据直角三角形的性质即可求得结果；

（2）由AP＝2t，AQ＝15－t，易求得AC=12，再分△APQ∽△AOB与△AQP∽△AOB两种情况根据相似三角形的性质即可求得结果；

（3）①先求得直线AB的函数关系式为y＝x－12，设点M的横坐标为x，则M（x，x－12），N（x，x2－x－12），根据平行四边形的性质可得MN＝OB＝12，即可得到(x－12)－(x2－x－12)＝12 ，而此方程的△＜0，无实数根，故不存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形；

②由S四边形CBNA= S△ACB+ S△ABN="72+" S△ABN可得S△ABN＝S△OBN＋S△OAN－S△AOB＝6x＋(－2x2＋12x＋54)－54＝－2x2＋18x＝－2(x－)2＋，根据二次函数的性质即可求得结果.

（1）由题意得：A（9，0），B（0，－12）  

∴OA＝9，OB＝12，

∴AB＝15 

∴S＝π·()2＝π；

（2）AP＝2t，AQ＝15－t，易求AC=12，∴0≤t≤6

若△APQ∽△AOB，则＝．∴t＝．  

若△AQP∽△AOB，则＝．∴t＝＞6（舍去）． 

∴当t＝时，以A、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似．

（3）直线AB的函数关系式为y＝x－12．   

设点M的横坐标为x，则M（x，x－12），N（x，x2－x－12）．

若四边形OMNB为平行四边形，则MN＝OB＝12

∴(x－12)－(x2－x－12)＝12

即x2－9x＋27＝0

∵△＜0，

∴此方程无实数根，

∴不存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形；

②∵S四边形CBNA= S△ACB+ S△ABN="72+" S△ABN

∵S△AOB＝54，S△OBN＝6x，S△OAN＝·9·＝－2x2＋12x＋54

∴S△ABN＝S△OBN＋S△OAN－S△AOB＝6x＋(－2x2＋12x＋54)－54＝－2x2＋18x＝－2(x－)2＋

∴当x＝时，S△ABN最大值＝ 

此时M（，－6），S四边形CBNA最大=．

考点：二次函数的综合题